この記事は『連続音で上手く歌わせる方法』ではなく『連続音で基本となる、必要な処理』について書かれています。
連続音に対応した便利なプラグイン等もありますが、それらを使わない『基本』の歌わせ方です。

UTAUを起動し、右上にある『MODE2』をクリック！
自動ピッチモードを『MODE2』に切り替えます

『テトたん！2010』で説明します。
『テトたん！2010』のBメロのワンフレーズ『音痴と三十路は禁句だと～♪』から

まずは単独音と同じように歌詞を打ち込みます。

『そ』をSHIFTキーを押しながら、右クリック！
『そ』の前の音は『み』（母音は『い』）なので、『i そ』に歌詞を変更します。

歌詞を変更しました。こんな感じになります。

同じ要領で『i そ』のうしろの『じ』を変更します。（『そ』の母音は『お』→『o じ』に変更）

他の音も歌詞の変更をしていきます。

エディタの表示を切り替えます（F4）。
歌詞を『選択状態』にして…

右上のボタン[パラメータ自動調整を適用]をクリック！

次いで、[クロスフェードのエンベロープをp2とp3で設定する]もしくは、
[クロスフェードのエンベロープをp1とp4で設定する]をクリック！
（※今回の説明は[クロスフェードのエンベロープをp1とp4で設定する]で進めます）

かなり変わりました。

ココまで進んだら、一度再生してみましょう！
再生が済んだら[クロスフェード最適化]をクリック！

こんな画面になります。
『はい』を選択。

その後、再生→[クロスフェードの最適化]を繰り返します。
何度か繰り返すと下の画面が出てきます。
これは『これ以上、最適化できません』ということです。
次の歌詞に移って最適化していきましょう。

以上が、連続音の基本的な歌わせ方です。